度量张量(英语:Metric tensor)在黎曼几何里面又叫黎曼度量,物理学译为度规张量,是指一用来衡量度量空间中距离,面积及角度的二阶张量。
当选定一个局部坐标系统
,度量张量为二阶张量一般表示为
,也可以用矩阵
表示,记作为G或g。而
记号传统地表示度量张量的协变分量(亦为“矩阵元素”)。
到
的弧线长度定义如下,其中参数定为t,t由a到b:
![{\displaystyle L=\int _{a}^{b}{\sqrt {\sum _{ij}g_{ij}{dx^{i} \over dt}{dx^{j} \over dt}}}dt}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/728ea3a8418928345040b77e9c3f93489c0f8c1d)
两个切向量的夹角
,设向量
和
,定义为:
![{\displaystyle \cos \theta ={\frac {\langle u,v\rangle }{|u||v|}}={\frac {\sum _{ij}g_{ij}u^{i}v^{j}}{\sqrt {\left|\sum _{ij}g_{ij}u^{i}u^{j}\right|\left|\sum _{ij}g_{ij}v^{i}v^{j}\right|}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d9670ac2cd9e6691810575c4a2adc549f091b1e)
若
为
到
的局部微分同胚,其诱导出的度量张量的矩阵形式
,由以下方程式计算得出:
![{\displaystyle G=J^{T}J}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c78a50dc1f3232ad6b5e55d801d854ba0c44a991)
表示
的雅可比矩阵,它的转置为
。著名例子有
之间从极座标系
到直角座标
的座标变换,在这例子里有:
![{\displaystyle x=r\cos \theta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f27adec1ac1792288cba78a125b22893a59507a)
![{\displaystyle y=r\sin \theta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e29d62630263d5354736fb536f72ca956b65382)
这映射的雅可比矩阵为
![{\displaystyle J={\begin{bmatrix}\cos \theta &-r\sin \theta \\\sin \theta &r\cos \theta \end{bmatrix}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7070407c01d2313458bfda8e938fc3b610c58e79)
所以
![{\displaystyle G=(g_{ij})=J^{\mathrm {T} }J={\begin{bmatrix}\cos ^{2}\theta +\sin ^{2}\theta &-r\sin \theta \cos \theta +r\sin \theta \cos \theta \\-r\cos \theta \sin \theta +r\cos \theta \sin \theta &r^{2}\sin ^{2}\theta +r^{2}\cos ^{2}\theta \end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0\\0&r^{2}\end{bmatrix}}\ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ecd47a585b59c5919b2aeaad59b27b16abeb5298)
这跟微积分里极座标的黎曼度量,
,一致。
欧几里德几何度量[编辑]
二维欧几里德度量张量:
![{\displaystyle (g_{ij})={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b589391a1757f676aca7497d98b5876a00308572)
弧线长度转为熟悉微积分方程式:
![{\displaystyle L=\int _{a}^{b}{\sqrt {\left({\frac {dx^{1}}{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {dx^{2}}{dt}}\right)^{2}}}\mathrm {d} t}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/55c05013f8a2ae49479cb83b01abba6b47ebae19)
在其他坐标系统的欧氏度量:
极坐标系:
![{\displaystyle (g_{ij})={\begin{bmatrix}1&0\\0&(x^{1})^{2}\end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c2fcf3f0c0fc0dc728581adbd749c9ccdcdb98bb)
圆柱坐标系:
![{\displaystyle (g_{ij})={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&(x^{1})^{2}&0\\0&0&1\end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/14f6f697f92cae3cd1af5335fbd000228ce6b6cf)
球坐标系:
![{\displaystyle (g_{ij})={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&(x^{1})^{2}&0\\0&0&(x^{1}\sin x^{2})^{2}\end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aebe2528dc48539940e9ecf0cc0b2678e059b4f6)
平坦的闵可夫斯基空间 (狭义相对论):
![{\displaystyle (g_{\mu \nu })=(\eta _{\mu \nu })\equiv {\begin{bmatrix}-1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/329f918110893a0a0141e769bc93b317cc6e2013)
在一些习惯中,与上面相反地,时间ct的度规分量取正号而空间 (x,y,z)的度规分量取负号,故矩阵表示为:
![{\displaystyle (g_{\mu \nu })=(\eta _{\mu \nu })\equiv {\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/861603ddf62cc4221571021644e5794c3a6bb7d5)